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MA-141 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES,
o
PERÍODO DE 2012
Vetores, produto escalar, distância, ângulo e produto vetorial
QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS
1 Vetores no plano e no espaço
Vetores no plano são pares ordenados do tipo (x, y) ou matrizes 2 × 1 ,
x
y
. Igualmente, no espaço basta acrescentarmos
mais uma coordenada: (x, y, z) ou
x
y
z
Essa forma de ver os vetores está associada a termos um sistema de eixos coordenados que nos permitem localizar
os pontos:
A
B
@I
@I
o
X
Y
(x, y)
Figura 1
o
Y
Z
X
(x, y, z)
Figura 2
Igualmente aos vetores, cada ponto do plano é dado por duas coordenadas e cada ponto do espaço por três. Assim
A = (2, −1) é o ponto marcado na gura 1. Podemos entender que o vetor (x, y) corresponde ao segmento que une a
origem O = (0, 0) ao ponto de coordenadas (x, y). Podemos também escrevermos o vetor que liga dois pontos. Por
exemplo o vetor que liga A com B = (1, 0) corresponde ao vetor (− 1 , 1). Na gura 1 desenhamos a echa que liga A
com B em verde para lembrarmos que as duas echas, em preto ligando a origem O com o ponto (− 1 , 1), e, em verde
ligando os pontos A com B, representam o mesmo vetor.
De nição: Dado um vetor (x, y) do plano, ou (x, y, z) do espaço, chama-se norma do vetor ao número ‖(x, y)‖ =
x
2
2 , ou ‖(x, y, z)‖ =
x
2
2
2 .
Usando o teorema de Pitágoras podemos ver que a norma de um vetor (x, y), ou (x, y, z), é igual ao comprimento
da echa, isto é, o comprimento do segmento que une a orígem ao ponto de coordenadas (x, y), ou (x, y, z). Dados
dois pontos A e B, no plano ou no espaço, o comprimento do segmento AB, ou a distância entre A e B, é igual ao
comprimento do vetor que une A com B. Por exemplo, no plano, se A = (a, b) e B = (a
′ , b
′ ), então o segmento AB
tem comprimento ‖(a
′
− a, b
′
− b)‖ =
(a
′ − a)
2
′ − b)
2 .
Observação: Vamos denotar o comprimento de um segmento de extremos A e B com d(A, B). Estamos usando
d(A, B) para indicar a distância entre A e B. No caso acima temos d(A, B) = ‖(a
′
− a, b
′
− b)‖.
De nição: Dizemos que dois vetores u e v são paralelos se existir um número α ∈ R, α 6 = 0, tal que u = α v.
Observemos em primeiro lugar que a de nição é simétrica, com deveria mesmo ser. Isto é, v = α
− 1 u e portanto
não faz diferença de que lado ca o escalar. Podemos também dizer que os vetores u e v são colineares. De fato
como um deles é múltiplo do outro eles estão sobre uma mesma reta. Temos então que paralelismo e colinearidade são
sinônimos para dois vetores.
Conclusão: para decidirmos se dois vetores u e v, do plano ou do espaço, são paralelos temos que encontrar um
número α 6 = 0 tal que u = α v (ou v = α u).
Observação: Os dois primeiros problemas, a seguir, não usam as coordenadas de vetores para serem resolvidos.
Só temos que usar propriedades aritméticas relacionadas com a soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar.
Questão 1 Mostre que o segmento que une os pontos médios de 2 lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e
é igual a sua metade.
Questão 2 Mostre que as diagonais de um losango cortam-se mutuamente em seu ponto médio e que são ortogonais
entre si.
A seguir, trabalhando com coordenadas.
Questão 3 Em cada caso abaixo siga as instruções para encontrar o ponto pedido do espaço.
a) Encontre o ponto Q tal que o vetor com origem no ponto P = (1, 0 , 1) e com extremidade em Q tenha norma,
direção e sentido iguais ao vetor (1, − 2 , 1).
b) Q é a extremidade de um vetor com origem no ponto médio do segmento que liga os pontos P 1
= (1, 1 , 3) e
P
2 = (− 1 , 1 , 1) e tem norma, direção e sentido do vetor v = (− 1 , 0 , 1).
Questão 4 Para os pontos A = (1, 0 , 1), B = (− 1 , 1 , 1) e C = (0, 1 , 2):
a) determine o ponto D tal que A,B,C e D sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo
b) Determine o ponto médio entre A e C e o ponto médio entre B e D.
Questão 5 (a) Demonstre que se α e β são números reais tais que α(2, 3) + β(3, 2) =
0 , então α = 0 e β = 0.
(b) Qual a conclusão geométrica que podemos tirar do item acima?
Questão 6 Considere três vetores do R
3
: u = (1, 0 − 1), v = (1, 1 , 1) e w = (x, y, z).
(a) Se w = (− 1 , − 5 , −9) mostre que existem escalares a e b tais que w = au + bv.
(b) Ainda para w = (− 1 , − 5 , −9), será que existem escalares a
′
, b
′
tais que (a
′
, b
′
) 6 = (a, b) e w = a
′
u + b
′
v?
(b) Será que para todo w existem escalares a e b tais que w = au + bv, como no item anterior?
(c) Existe alguma relação entre as perguntas acima e o estudo de sistemas?
Questão 9 a) Demonstre que não existe x tal que os vetores v = (x, 2 , 3) e u = (x, − 2 , 3) sejam perpendiculares.
b) Encontre o ângulo entre os vetores u = (2, 1 , 0) e v = (0, 1 , −1) e também o ângulo entre w = (1, 1 , 1) e z =
Questão 10 a) Estude o ângulo entre os vetores
i e
j no plano. Faça o mesmo no R
3
em relação a
i,
j e
k.
b) Escrevendo os vetores u = x~i + y~j e v = a~i + b~j veri que que 〈u, v〉 = xa〈
i,~i〉 + yb〈
j,~j〉. Faça um estudo semelhante
no espaço R
3 .
De nição: Dados dois vetores ~u e ~v, chamamos de projeção de ~u sobre ~v ao vetor
p ~ =
〈~u, ~v〉
‖~v‖
~v
‖~v‖
〈~u, ~v〉
〈~v, ~v〉
~v.
A gura abaixo ilustra geometricamente como é o vetor projeção.
~u
~v
~p
Figura 3
Observe que
〈~u, ~v〉
‖~v‖
= ‖~u‖ cos θ, onde θ é o ângulo entre ~u e ~v. Já
~v
‖~v‖
‖~v‖
~v é um vetor com direção e sentido
iguais aos de ~v mas com comprimento 1. Estamos assim produzindo um vetor ~p com direção e sentido iguais aos de ~v
mas com comprimento ‖~u‖ cos θ. Esse é o caso da gura 3, onde θ < π/ 2. Caso θ > π/ 2 teríamos cos θ negativo e o
vetor ~p teria sentido oposto ao de ~v
Questão 11 Considere os pontos A = (3, − 2 , 8), B = (0, 0 , 2) e C = (2, 3 , 2).
(a) Usando vetores mostre que o triângulo de vértices A, B e C é retângulo (Dica! O lado BA é paralelo ao vetor
−→
BA).
(b) Determine o ponto H na aresta AC para o qual os segmentos AC e HB são ortogonais (= perpendiculares).
(c) Determine o vetor
−→
AH. (Dica!
−→
AH é a projeção ortogonal de
−→
AB sobre
−→
AC.)
(d) Calcule a área do triângulo (Dica! área do triângulo = (1/2) de base × altura).
Questão 12 Decompor o vetor w~ = (− 1 , − 3 , −2) como soma de dois vetores w~ = ~u + ~v, onde ~u é paralelo ao vetor
(0, 1 , 3) e ~v é ortogonal a (0, 1 , 3) (Dica! u pode ser escolhido como a projeção de w~ sobre (0, 1 , 3)).
Questão 13 Sejam ~u, ~v e w~ três vetores. Sabendo-se que ~u é ortogonal a ~v − w~ e ~v é ortogonal a w~ − ~u, veri que
que w~ é ortogonal a ~u − ~v.
Questão 14 Seja ~v 6 = 0 um vetor do R
3 e sejam α, β, e γ os ângulos que ~v faz com os eixos coordenados X, Y , e
Z.
(a) Se ‖~v‖ = 1, então ~v = (cos(α), cos(β), cos(γ)) (Dica! calcular os cossenos de α, β e γ fazendo o produto escalar
de ~v com os vetores de comprimento 1 na direção dos eixos coordenados. Como é um vetor de comprimento 1
na direção de X? Isto é, sobre o eixo X.).
(b) Para um vetor ~v qualquer, vale que ~v = ‖~v‖(cos(α), cos(β), cos(γ)).
(c) Mostre que cos
2
(α) + cos
2
(β) + cos
2
(γ) = 1.
Questão 15 A área do triângulo ABC é
- Sabendo-se que A = (2, 1 , 0), B = (− 1 , 2 , 1) e que o vértice C está no
eixo Y , encontre as coordenadas de C.
Questão 16 Encontre um vetor u que seja ortogonal aos vetores (2, 3 , −1) e (2, − 4 , 6) tal que ‖ u ‖= 3
Questão 17 Dados os pontos A = (2, 3 , 0), B = (4, 0 , 1) e C = (0, 1 , 2) no R
3
determine:
(a) O comprimento do lado AB.
(b) A medida do ângulo entre os lados BA e BC.
(c) A área do triângulo ABC.
(d) O comprimento da altura do triângulo ABC relativa ao vértice A.
(e) As coordenadas do ponto no lado AC por onde passa a perpendicular a esse lado que contém o ponto B.
(f ) Desenhe o triângulo ABC no espaço R
3
.
3 Produto vetorial
Nesta seção só consideramos vetores no espaço R
3
pois não é possível de nir o produto vetorial em outros ambientes.
De nição: Dados dois vetores u = (x, y, z) e v = (a, b, c), chama-se produto vetorial de u por v ao vetor
u ∧ v = (yc − zb, za − xc, xb − ya).
Observação: Também é bastante usada a notação u × v para indicar o produto vetorial de u por v.
Observe que temos de dizer produto de u por v, pois o produto vetorial NÃO é comutativo. Na verdade v ∧ u =
−u ∧ v.
Existe uma regra simples para encontrarmos o produto vetorial de u = (x, y, z) e v = (a, b, c). Lembrando-se que
u = x~i + y~j + z
k e v = a~i + b~j + c
k obtemos
u ∧ v = (yc − zb)
i + (za − xc)
j + (xb − ya)
k
= (yc − zb)
i − (xc − za)
j + (xb − ya)
k
= det
i
j
k
x y z
a b c
Essa fórmula fornece uma maneira simples de encontrar o produto vetorial e também de vermos que o esse produto
tem as seguintes propriedades: dados vetores u, u
′
, v e v
′
e um escalar α,
- Se u, v e w são vetores no espaço, com v não nulo e v ∧ u = v × w então u = w
- Se u, v e w são vetores no espaço então u ∧ (v ∧ w) = (u ∧ v) ∧ w.
- Se u, v e w são vetores no espaço, u é não nulo e u ∧ v = u ∧ w =
0 então v ∧ w =
Questão 24 Sejam u = (2, − 1 , 3), v = (0, 1 , 7) e w = (1, 4 , 5).
- Mostre que existem dois números α e β tais que u ∧ (v ∧ w) = α v + β w.
- Mostre que existem dois números a e b tais que (u ∧ v) ∧ w = a u + b v.
Observação: Este último exercício mostra que não podemos esperar por associatividade no produto vetorial.
4 Produto misto
Dados três vetores u, v e w podemos fazer o produto escalar de u por v ∧ w. Isso é chamado de produto misto e tem
bastante interesse. Vamos então estudar o número
〈u, v ∧ w〉.
Examinemos na gura abaixo os três vetores,
H
H
H
H
Hj
>b
b
b
b
b
v
w
w
v ∧ w
β
u
Figura 4
A >
C
D
B
Lembremos que ‖v ∧ w‖ = área do paralelogramo de vértices ABCD e que tem v e w como dois lados consecutivos.
Por outro lado 〈u, v ∧ w〉 = ‖v ∧ w‖‖u‖ cos β, onde β é o ângulo entre u e v ∧ w. Sabemos também que v ∧ w é
perpendicular ao plano que contém o paralelogramo ABCD. Logo ‖u‖ cos β, que é a projeção de u sobre v ∧ w, é igual
a altura do prisma que tem base o paralelogramo ABCD como base e o vetor u como uma aresta. Concluímos então
que o valor |〈u, v ∧ w〉| é igual ao volume desse prisma.
O próximo passo é escrever uma fórmula para calcular o valor de 〈u, v ∧ w〉. Coloquemos coordenadas no vetores:
u = (r, s, t), v = (x, y, z), e w = (a, b, c). Temos que v ∧ w = (yc − zb, za − xc, xb − ya), logo
〈u, v ∧ w〉 = r(yc − zb) + s(za − xc) + t(xb − ya)
= r(yc − zb) − s(xc − za) + t(xb − ya)
= det
r s t
x y z
a b c
E essa é a fórmula procurada. Por isso que no cálculo de volumes utilizamos o determinante.
Uma outra aplicação do produto misto é fornecer um critério para que para que três vetores sejam coplanares. De
fato, para v e w não paralelos, se u, v, e w forem coplanares, todo vetor que for perpendicular a v e w, simultaneamente,
será perpendicular a u também. Então o vetor v ∧ w será ortogonal a u e assim 〈u, v ∧ w〉 = 0. Reciprocamente, como
v ∧ w é ortogonal a v e w, será também ortogonal ao plano determinado por v e w. Nesse caso somente os vetores que
estão nesse plano são perpendiculares a v ∧ w. Assim, 〈u, v ∧ w〉 = 0, como signi ca que v ∧ w é ortogonal a u, implica
que u está no plano determinado por v e w.
Poderíamos também pensar que se u, v, e w são coplanares, o prisma gerado por eles tem altura zero e portanto
volume zero.
Questão 25 Determine x para que os pontos A = (x, 1 , 2) B = (2, − 2 , −3) C = (5, − 1 , 1) e D = (3, − 2 , −2)
sejam coplanares (Dica! Os pontos são coplanares se os vetores
−→
AB,
−→
BC e
−→
CD forem coplanares.)
Questão 26 Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w nos seguintes casos:
a) Dados os pontos A = (1, 3 , 4), B = (3, 5 , 3), C = (2, 1 , 6) e D = (2, 2 , 5) tome u =
AB, v =
AC e w =
AD =
b) u =
i + 3
j + 2
k, v = 2
i +
j −
k e w =
i − 2
j +
k.
Questão 27 Se u, v e w são vetores no espaço então: 〈u, v ∧ w〉 = 〈v, w ∧ u〉 = 〈wv ∧ u〉.
Questão 28 São dados quatro vértices, A = (− 2 , − 1 , 1), B = (1, 1 , 1), D = (5, 1 , −1), e E = (1, 1 , −1), de um
paralelepípedo, cuja distribuição está esquematizada no desenho abaixo.
E
r
B
C
r
r
r
r
A
r
D
r
r
Figura 5
(a) Determine as coordenadas do ponto C.
(b) Encontrar o volume do paralelepípedo.
(c) Determinar o valor da altura h do paralelepípedo em relação a base ABCD
(d) Encontrar a equação do plano π que contém a face do paralelepípedo onde está o vértice E e é paralela a face
ABCD (Este último item só pode ser resolvido depois de estudarmos planos.).
O trabalho nos dias de hoje não depende, necessariamente, do número de horas trabalhas e, nem mesmo, do esforço
físico empregado. Ele depende de desenvolvimento racional, emocional e social, e também da intuição. Qualidades
que, por mais que se tente, jamais serão dadas a qualquer máquina, mas podem ser obtidas por mentes, corações e,
também, mãos talentosas, integradas em um ser humano completo e único que poderá ver o signi cado do trabalho, e
crescer com ele. Dessa maneira, o futuro pertence a pessoas criativas e capazes de propor soluções para problemas, e
não àquelas cuja maior habilidade reside em repetir procedimentos pré-estabelecidos."
