Baixe vibrações mecanicas - sistema de amortecimento e outras Trabalhos em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Vibrações em Sistemas de Vários Graus de Liberdade: Estudo de Caso de Choque Inelástico em Pórtico.
Felipe Augusto da Silva Barbosa¹
Fernanda Silveira Ramos²
Tarcísio Dias da Silva²
(^1) Universidade Federal da Paraíba – UFPB (^2) Universidade Federal da Bahia – UFBA
Seminário da disciplina PEF 5916 – Dinâmica e Estabilidade das Estruturas
RESUMO
Este trabalho discorre sobre o efeito dinâmico de um choque inelástico em uma estrutura aporticada nodal plana, para a qual também se consideram vibrações forçadas. A análise é feita de forma sucinta, por meio de um modelo reduzido para um grau de liberdade e por outro modelo de seis. Desta maneira, verificam-se as máximas rotações que resultam nos maiores momentos, o que permite comparar as tensões atuantes na estrutura com as admissíveis do material.
PALAVRAS-CHAVE: choque inelástico, vibrações forçadas,
sistemas de vários graus de liberdade, integração numérica, pórtico plano.
INTRODUÇÃO
Choques podem ser definidos como a transferência de muita energia em um curto espaço de tempo. No choque perfeitamente inelástico, considera-se que, após a colisão, as massas permanecem solidarizadas, podendo, assim, ser caracterizado como uma vibração livre. Além dessa consideração, deve-se levar em conta que a quantidade de movimento se conserva e que o amortecimento é desprezado em favor da segurança, já que o mesmo reduz o valor da resposta máxima.
Vibrações são provocadas por condições cinemáticas simultaneamente não nulas em t = 0. Para o caso de choque vertical, tem-se:
[𝐌]{ü} + [𝐊]{𝐮} = {𝐑} (1)
Na qual, [𝐌] ∈ ℝ𝑁𝑥𝑁^ é a matriz massa, [𝐊] ∈ ℝ𝑁𝑥𝑁^ é a matriz de rigidez, {𝐑} ∈ ℝ𝑁𝑥1^ são os esforços externos e N é o número de graus de liberdade do sistema. As matrizes [𝐌] e [𝐊] são simétricas e, geralmente, positivas definidas.
Os modos de vibração não amortecidos são síncronos, ou seja, todos os pontos atingem seus deslocamentos máximos e mínimos em um certo período de tempo, sucessivamente. Esses modos podem ser classicamente encontrados por autovalores (𝜔^2 𝑘) e autovetores ({𝑸̂𝒌}):
([𝐊] − 𝜔^2 𝑘[𝐌]){𝑸̂ 𝒌} = {𝟎} (2)
Observa-se que o vetor nulo é uma solução trivial do sistema. Para que esse sistema admita outras soluções, deve-se impor:
|[𝐊] − 𝜔^2 𝑘[𝐌]| = 0 (3)
Da equação (3) obtemos um polinômio de grau n , no qual as soluções 𝜔𝑖 são as frequências naturais não amortecidas do sistema. Para cada frequência podemos determinar um modo de vibração na forma espacial, o que nos leva à matriz modal [𝚽] de ordem n, composta em cada coluna j pelos componentes referidos aos modos de vibração na forma espacial.
O objetivo deste trabalho é verificar a resistência de um dado pórtico ao choque inelástico de rochas em queda livre, através de respostas dinâmicas obtidas analiticamente, numericamente e computacionalmente através do software Adina©.
MODELO E METODOLOGIA DE ANÁLISE
Um túnel de 1000 km de comprimento e 5,0 m de altura foi escavado para a passagem de uma tubulação de gás natural entre duas cidades. Entretanto, a construtora optou por não revestir o túnel, de modo que, com o passar do tempo, observou-se que rochas começaram a cair, ameaçando a segurança da tubulação. Como medida imediata e de cunho econômico, a construtora mapeou os locais críticos, ou seja, aqueles com rochas maiores e na iminência de queda, e optou por instalar coberturas metálicas aporticadas, conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1 - Esquema da Cobertura Metálica
Neste trabalho, para a estrutura apresentada, verifica-se a resistência do pórtico de maior vão ao choque da rocha com os seguintes dados fornecidos pela construtora: 1) massa da rocha de 5000 kg, transformada em carga pontual e aplicada no meio do vão; 2) altura de queda de 2, m; 3) perfis metálicos dos pilares W200x59 e das vigas W200x86 de aço ASTM A 572 Grau 50 (Figura 2).
Figura 2 - Geometria analisada
A estrutura em análise possui 3 graus de liberdade, considerando-se as barras inextensíveis, conforme mostrado na Figura 3.
Figura 3 - Graus de Liberdade
O primeiro método utilizado para análise foi o analítico, no qual é possível fazer uma simplificação para um grau de liberdade (Q 2 ) já que para uma carga vertical aplicada no meio do vão, o deslocamento horizontal é nulo e as rotações são simétricas, porém opostas (Q 3 = - Q 2 ). Em seguida foi utilizado o método de integração numérica no domínio do tempo de Euler-Gauss para resolução da Equação (1), sendo este um caso particular do método de Newmark, também para um grau de liberdade. Por fim, foi utilizado o software Adina©^ para integração no domínio do tempo pelo mesmo método, considerando-se 6 graus de liberdade, com um nó a mais no local de aplicação da carga.
Figura 4 - 6 Graus de Liberdade
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A. Método Analítico No sistema da Figura 3, a matriz de massa e rigidez reduzidas para elementos de barra 2D são, respectivamente:
[ M ]=
[
] (4)
[ K ]=
[
] (5)
Utilizando os dados fornecidos anteriormente e adicionalmente com os dados seguintes: 𝑙 = 3 m; = 59 kg/m; E = 210 GPa; I = 6140 cm^4 , tem-se:
[ M ]= [
] (6)
[K]= [
] (7)
Resolvendo a Equação (3), os autovalores são 1 = 36,188 rad/s, 2 = 84,385 rad/s e 3 = 275,753 rad/s. Assim, a matriz modal é:
[]= [
] (8)
Desta forma, a matriz de massa e rigidez modais são:
[ M *]= [
] (9)
[K*]= [
] (10)
O modo simétrico dado pela frequência natural 2 é o que resulta nos maiores deslocamentos, como ilustra a figura a seguir:
Figura 5 - Segundo Modo de Vibração
O desafio da resolução para 3 graus de liberdade é a transformação da velocidade inicial vertical devido à queda da rocha em uma velocidade angular compatível com o grau de liberdade Q 2. Desta forma, o conceito de potência das forças entre uma carga concentrada P aplicada no meio do vão de uma viga bi-engastada e o momento provocado por ela na direção de Q 2 é utilizado para essa transformação: 𝑢 0 ̇ = 0.044779 𝑚/𝑠 → 𝑄2,0̇ = 0,059705 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Outra consideração é de que a vibração é livre e o deslocamento inicial é nulo (𝑢 0 = 0), assim, a resolução da Equação (1) é dada por:
2.5 m 6.0 m
3.0 m
Q 1
Q 2 Q 3
Q 1
Q (^2) Q 4 Q 3 Q 5
Q 6
EI; l; μ EI; l; μ
1,55EI; 2l; 15,7μ
Figura 9 - Diagrama de Momento Fletor para Carga Estática [KNm]
A partir das máximas rotações dinâmicas obtidas pelos 2 primeiros métodos mencionados, utilizou-se o máximo QD2 dentre eles para obtenção dos esforços aplicados nos respectivos graus de liberdade utilizando-se da seguinte equação:
[ F ] = [ K ] [
] = [
] [𝑁, 𝑚] (16)
Os valores de momentos calculados na Equação (16) foram adicionados ao carregamento estático, gerando um novo diagrama de momento fletor, conforme ilustram as Figura 10 e 11, respectivamente.
Figura 10 - Carregamento Estático e Dinâmico
Figura 11 - Diagrama de Momento Fletor para Carga Estática e Dinâmica [kNm]
Desta forma, o coeficiente de amplificação do carregamento dinâmico D para o nó 3 é de 1,16 ao relacionar o momento total de MT = 33 kNm com o momento estático ME = 28,3 kNm para este nó.
O diagrama de momento da estrutura fornecido pelo Adina©^ para 6 graus de liberdade é o que se segue:
Figura 12 - Diagrama de Momento - Adina©^ [Nm]
Neste caso, o coeficiente de amplificação do carregamento dinâmico D para o nó 4 é de 1,61 ao relacionar o momento total de MT = 79,11 kNm com o momento estático ME = 49,0 kNm nos nós do pórtico.
A partir da Figura 12, é possível definir as tensões atuantes nas vigas e pilares com o máximo momento e compará-las com a tensão admissível de escoamento do aço ASTM A 572 Grau 50 (fyk = 345 MPa):
𝜎𝑚á𝑥,𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝜎𝑚á𝑥,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =
𝑀𝑦 𝐼
Portanto, para o choque de uma rocha de 5000 kg, a estrutura apresenta tensões resistentes bem superiores às tensões de solicitação, o que poderia implicar na utilização de perfis de menor inércia.
Sobre as frequências, a discrepância entre os valores analítico e computacional é devida as hipóteses iniciais assumidas para o modelo de 1 grau de liberdade como a desconsideração da rigidez axial dos elementos e uma menor discretização que o modelo computacional levando a uma maior flexibilidade do elemento.
Em relação aos métodos aplicados, a diferença entre a solução analítica e a integração numérica para a resposta somente dinâmica é de apenas 0,3%, o que caracteriza boa aplicabilidade do modelo. Já a diferença entre o método de Euler-Gauss do Adina©^ com 6 graus de liberdade e o método de Euler Gauss com 1 grau de liberdade é de 22%, o que é uma discrepância considerável devido a influência de outros modos de vibração além do segundo no modelo computacional como pode ser visto pela existência de diferentes picos no Gráfico 3.
Por fim, os momentos fletores máximo para 1 grau e para 6 graus possuem 44% de discrepância entre si. Neste ponto, deve-se levar em consideração todas as suposições feitas para redução do modelo de 3 graus para 1 grau de liberdade, em especial a conversão da velocidade inicial vertical em velocidade angular, já que esta etapa acarreta o uso de várias hipóteses que podem ocasionar uma propagação maior de erros, levando à diferença citada. Essa diferença também pode ser atribuída ao fato de que as frequências naturais dos métodos diferem entre si como mencionado anteriormente e, por último, ao fato do Adina©^ considerar outros modos de vibração além do segundo para cálculo da estrutura.
REFERÊNCIAS
Hibbeler, Russell Charles. Resistência dos Materiais. São Paulo:
Pearson, 2010.
Mazzilli, Carlos Eduardo Nigro, João Cyro André , Miguel Luiz
Bucalem, e Sergio Cifú. Lições em Mecânicas das
Estruturas: Dinâmica. São Paulo: Blucher, 2016.
Tedesco, Joseph, William McDougal, e C. Allen Ross.
Structural Dynamics - Theory and Applications.
Pearson, 1999.
79105
52654 52654
